田辺高校応援団管理者の活動を記録するブログ
<< May 2019 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >>
<< キーボードデコ | main | ツタヤの宅配レンタル TSUTAYA DISCAS >>
工程能力Cpkの推定【訂正】
JUGEMテーマ:品質保証

以前工程能力の推定を紹介しましたが

推定はあくまでσ(ばらつき)に着眼したもので

平均値と規格中央値のズレについては考慮していませんでした

つまりCpの推定でしたのでCpkで検討しました


まずはCpの推定

標準偏差をカイ2乗分布で区間推定(信頼区分95%)します
シグマの区間推定
σ : 母集団の標準偏差

s : サンプルから得た値で求めた標準偏差

Cp=(USL-LSL)/6σ で検討します

Cpが低下するのは、σが大きくなるときなので
σの大きいほうを代入します

例えばここでUSL-LSLが6sであれば本来Cp=1となります

USL-LSL=6sとして考えると

Cpは
カイ2乗で割った値まで低下する可能性があるので

サンプルから得られたCpは目標値に
カイ2乗を掛けた値以上ある必要があります

さらにCp=1.0のほか

USL-LSL=8s(Cp=1.33)

USL-LSL=10s(Cp=1.67)

USL-LSL=12s(Cp=2.00)

それぞれについても同様に検討すると以下の表の値になります

Cp推定



次は偏り係数k(平均値のずれ)の推定

kをt分布で区間推定(信頼区分95%)します

一般式は(1式)の通りです

平均 ・・・ (1式)
μ : 母平均

標本の平均 : 標本(サンプル)の平均値

t分布 : t−分布の値(エクセルでは =TINV(確率,自由度)

95%の信頼区間の場合は確率は1-0.95=0.05とします

自由度はここではサンプル数n-1とします

s : 標本(サンプル)の標準偏差(エクセルでは =STDEV)

これを工程能力の式に代入します

Cpk(USL)=USL-標本の平均/6σ

Cpk(LSL)=標本の平均-LSL/6σ
USL-標本の平均 =3s、または標本の平均- LSL=3sの時、工程能力は1になります

式を展開すると

kの推定工程能力が低下することが分かります

ここから分かるのは標本数nによって変わるということです

Cpの推定値にkの推定から求まる値を足してやると

下記の表の通りとなります

Cpk 推定

母集団のCpkが1.33以上というためには

標本数n=30のとき、標本Cpkは1.912以上必要であることが分かります

また、シックスシグマで目標とする母集団のCpk=1.5以上は

標本数n=30(シックスシグマでいうマジックナンバー)のとき、

標本Cpkは2.141以上必要であることが分かります

Cpk=2 (6σ)と近い値になりました

結構一致したのが何より驚きでした

但し、nは30以上で使用が望ましいです

それ以下は不安定になります

また、得られたデータをグラフ化して

正規分布いているか検証する必要があります

自由に使って頂いてもOKですが

検証するようにして下さい

初めまして、YATという者です。
工程能力を算出するために必要な最低限のサンプル数について調べていたところこのブログにたどり着きました。
式などが細かく書いてあり、とても参考になりました。一つ分らないことがあります。
95%の信頼性区間とは、どうゆう事なのでしょうか?
回答を頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

YAT | 2010/04/12 23:04
ブログを見ていただきありがとうございます

簡単にいうと95%の確率でその推定が当たるという意味です

例えば標本の平均が16.98
標本数が50の場合
母集団の平均を推定すると
16.55〜17.40となります

母集団の平均が95%の確率でこの
16.55〜17.40に存在するということです

逆に5%つまり20回に1回は
外れるということです

医療系の有意差検定では99%の信頼区分を使うようです

100%の推定は出来ません
-∞〜+∞になってしまいます

t表などの分布グラフを見ていただければ
分かると思います

つたない説明で申し訳ありませんが
がんばってください
管理人 | 2010/04/13 07:45
素早い返信ありがとうございます。
こちらに書いてある式を調べて、500個のサンプルから
取ったデータを使い、工程能力を調べてサンプル数を減らしていく事でCpkがどう変わっていくかを見ていきました。さらに、サンプル数を減らした時に母集団のCpk>1.33より大きいという条件を満たすのに必要なCpkを算出する方法がわからない状態で悩んでいます。

偏りkを母集団平均から推定し、それをどこかで算出したCpに適応し、それぞれのサンプル数時のCpkを出していることは判るのですが、間の導出過程がわかりません。まず、偏りKを母集団平均推定からどうやって決めているのか?
また、決めた偏りKをどのようにCpに加えてCpkを算出しているのか?tp(V)/3√nの式の導出もできませんでした。
この事を考えるに当たって参考になる教科書などはあるのでしょうか?

工程能力算出のサンプル数(標本)についてこのような考察していらっしゃる方が他のサイトでは見受けられないため、迷惑承知でご質問させていただきます。
色々言って申し訳ありません。
よろしくお願いします。
YAT | 2010/04/16 14:17
書籍は会社にあるのですが
確か「工業統計学」だったと思います
月曜日に確認します
この本ではCpの推定をしています
sを推定してsの最大値を入力して
Cpの値が低くなるということを説明しています

但し、Cpkについて推定を行ったという
書籍は見たことがありません
この通り大変なので
それどころかサンプル30個でCpk=1.33だから
量産してもOKと割り切っているメーカーもあります

N=30でCpk=2.0を確保しましょう
そうすれば量産に入ってもCpk=1.5は確保できます
と言うのがシックスシグマです


偏りKについては出来れば自力で頑張って欲しいのですが
ヒントとしては
Cpk=(規格上限-平均)/3s
またはCpk=(平均-規格下限)/3s
のどちらか小さいほうということです
Cpk=(規格上限-平均)/3σで考えましょう
平均値を推定すると x ± tp(ν) ×(s/√n)ですので
Cpk=(規格上限-x ± tp(ν) ×(s/√n))/3s となります

例えばCpkが1の時
規格上限-x=3sになりますよね
規格上限-x=3sを
Cpk=(規格上限-x ± tp(ν) ×(s/√n))/3s
に代入すると
Cpk=(3s ± tp(ν) ×(s/√n))/3s
Cpkが低下するのは
- tp(ν) ×(s/√n)の時なので
Cpk=(3s - tp(ν) ×(s/√n))/3s となり
Cpk= 1 - tp(ν)/3√nとなります

Cpk=(平均-規格下限)/3sの時も同様です
Cpk= 1.33の時は(平均-規格下限)=4sとして
同様に計算すれば
Cpk= 1.33- tp(ν)/3√nとなります

tp(ν)/3√nの式の導出が分かれば
Cpkに対する偏りKの影響が分かります
Kがsとは独立(直行)で
推定に当たってはn数に支配されていることが
見えてくるかと思います



ブログで紹介した表は
母集団のCpkが1.33以上あるというためには
サンプル数n個のCpkが○○以上あればいいかをまとめています

例えば、サンプル数30個の時
母集団のCpkが1.33以上と言うためには
1.79以上必要という事が読み取れます

この表の主な目的は量産時の工程能力の検証です
量産試作の時にCpkが1.33あっても
量産でNGが多発発生することがあります
これを現場で早く見極めたい時
この早見表があると便利ってことなんです

しかし、勉強熱心ですね
以前このエクセルの元データを
私の社内に配信しましたが
中身を理解しようとする人は少ないです


管理人 | 2010/04/16 19:25
書籍は次の2冊が参考になるかと思います

々業統計学 村上征勝著
入門統計学解析法 永田靖著

△凌篦蠅六温佑砲覆蠅泙
管理人 | 2010/04/20 09:36
 ブログ拝見しました。
YATさんと同じような質問でごめんなさい。
もっとアンポンタンですが・・。

 サンプル数が30でCp≧1.33の時、
母集団のCpはいくらといえるのか知りたくて
やってみましたが、表と数字が合いません。

 ”Cpの推定値にこの値を足してやると”の意味は、1.33+tinv(0.05,30−1)/(3*SQRT(30))ではダメでしょうか?
これだと母集団のCpkが1.33以上というためには
標本数n=30のとき、標本Cpkは1.57以上で良い事になってしまいました。

 お恥ずかしいですが、自分では出来そうにないので、n=30でCp≧1.33の時、母集団のCp幾らと言っていいのか、教えて頂くわけにまいりませんでしょうか?
きむきむ | 2010/08/29 21:40
きむきむさん
はじめまして

Cpだけなら平均が関係ないので
分散の推定から求められると思います

TINV(t分布表)は母平均の推定に使いますので
CHIINV(カイ2乗分布表)で分散を推定します

標本から得られたCpを
SQRT(CHIINV(0.025,n-1)/(n-1))で割ると
良いかと思います

=1.33/SQRT(CHIINV(0.025,29)/(29))
=1.059
かと思いますので計算してみてください

ちなみに表と数字が合わないのは
Cpkの場合は平均と分散を推定していますので
表の値が大きくなっているかと思います

以前紹介した「入門統計学解析法 永田靖」は
とても参考になります
永田靖先生は他にも簡単な入門書なども
執筆されているので参考にしてみて下さい
管理人 | 2010/08/30 20:22
COMMENT









Trackback URL
http://ouenblog.divaandco.com/trackback/940571
TRACKBACK